PTT數位生活區 / Prob_Solve (計算數學 Problem Solving)

Re: [問題] n個線性獨立的eigenvectors保證行獨立?

看板Prob_Solve (計算數學 Problem Solving)作者LPH66 (-858993460)時間13年前 (2012/02/04 00:46)推噓1(1推 0噓 4→)

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※ 引述《s97610017 (粥有兪)》之銘言： : If nxn matrix A has n linearly independent eigenvectors, : then the linear system Ax=b has a least-squares solution : (R)^-1(Q)^T b : (A)True (B) False : 這題是中央資工98年數學考題 : 但是我找到兩種版本解答 : 一直是直接說行獨立 : 不過另一種說n個線性獨立的eigenvectors並不保證有行獨立 : 我實在是不太懂 : 也不知道哪個說法是正確的 : 請問有哪位大大可以幫我解答一下嗎謝謝總覺得這文比較適合 Math 版... anyway, 令 M 為 A 的 n 個 eigenvector 作為 column vector 排成的矩陣則有 AM = MD 其中 D 是對角矩陣元素為對應之 eigenvalue 若這 n 個 eigenvector 線性獨立則 M 可逆但因為 D 可以是不可逆 (這只要有個對角線元素是 0 即可, ie. A 有 eigenvalue 0) A = MDM^-1 就不一定可逆了 (這等價於 A 無行獨立, 因為 A 是方陣) (其實 A 有 eigenvalue 0 正表示 A 無行獨立由於 A 乘上對應的 eigenvector 為零向量這個 eigenvector 正寫出了一個組合法) 用 Mathematica 湊了一個例子出來: [1 2 3] [8] [1] [-2] [0 0 1] eigenvalue/eigenvector 為: 2 → [1], 1 → [0], 0 → [ 1] [0 0 2] [2] [0] [ 0] 顯然這三個 eigenvector 互相線性獨立但左邊那矩陣並無行獨立由 0 的 eigenvector 也知道第一行乘 -2 加第二行乘 1 = 零向量即第一行乘 2 = 第二行乘 1 這也印證了這矩陣沒有行獨立 -- 実琴：「河野！你真的就這樣被物質慾望給吸引過去了嗎?!」亨：「只要穿著女裝擺出親切的樣子，所有必要花費就能全免，似乎一點都不壞啊。」実琴：「難道你沒有男人的尊嚴了嗎?!」亨：(斷然道)「沒有。在節衣縮食且生活吃緊的學生面前，沒有那種東西。」－－プリンセス・プリンセス第二話 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 122.254.16.60