PTT數位生活區 / Prob_Solve (計算數學 Problem Solving)

Re: 想問各位先進一個統計問題

看板Prob_Solve (計算數學 Problem Solving)作者yhliu (老怪物)時間2年前 (2022/10/23 09:40)推噓1(1推 0噓 7→)

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※ 引述《Jerrychiang (Y.J.Chiang)》之銘言： : 手機排版抱歉 : 同事問了一個問題我實在不知道怎麼解，放上來請各位先進指導， : 樂透彩從1-49中任取6個號碼（取後不放回），小明選了2.3.5.7.11.13六個號，變數x : 是小明選中的號碼數量，變數T是樂透抽出的六個號碼加總（ex 樂透抽出5.10.15.20. : 25.30，X=1，T=105) : Q1: T的期望值E[T]，小明六個號碼都中的期望值E[T|X=6]，以及全部沒中的期望值 : E[T|X=0] : Q2: X和T是否獨立 : Q3: X^2的期望值E[X^2]與X變異數Var[X] : 麻煩各位提供我一些想法，謝謝大家的幫忙 : ----- : Sent from JPTT on my Vivo V1930. 有專門的統計版，再不然還有數學版，這問題放在那裡更適當。假設選的號碼（此例的 2,3,5,7,11,13）是固定的。 T = Z1+...+Z6, Zi 是從 1~49 隨機選出的，E[Zi] = (1+49)/2 = 25 所以 E[T] = E[Z1]+...+E[Z6] = 25*6 = 150 Zi 之間有相關，但這不影響期望值，只影響 T 的變異數計算。 X = 6 即 {Z1,...,Z6}={2,3,5,7,11,13}, 所以 E[T|X=6] = 2+...+13 = 41 X = 0 即 Z1,...,Z6 只能從已定的６個號碼之外選，　　所以 E[Zi|X=0] = (1+4+6+...+49)/431 = [49(49+1)/2-41]/43 = 1184/43 = 27.53 所以 E[T|X=0] = 27.53*6 = 165.2 Ｘ是其他值時，如 X=2，表示在 2,3,5,7,11 中取兩個號，在其他 43 個號中取 4 個號。前者各種情形平均（對各種可能組合之平均）號碼和是 2(41/6)，後者號碼和平均是 4(1184/43)，故 E[T|X=2] = 82/6 + 4736/43 = 123.9 通式 E[T|X=x] = x(41/6)+(6-x)(1184/43) E[T|X=x] 隨 x 而變，所以 T 與 X 不獨立。 X 的分布可以算出，然後依定義式可計算 E[X], E[X^2] 及 Var[X]. 事實上 X 服從超幾何分布，P[X=x] = C(6,x)C(43,6-x)/C(49,6) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.224.176.108 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Prob_Solve/M.1666489257.A.DAB.html