PTT數位生活區 / Prob_Solve (計算數學 Problem Solving)

Re: [問題] 多個圓的圓徑比例？

看板Prob_Solve (計算數學 Problem Solving)作者chubiei (:))時間13年前 (2011/07/21 01:53)推噓3(3推 0噓 11→)

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※ 引述《mabus (CodeINCEPTION)》之銘言： : 圖： : B=3，即B為三個圓。 : http://0rz.tw/CT1O1 : B=4，即B為四個圓。 : http://0rz.tw/ZqYOv : 解說： : B=5，即B為五個圓；同理，B=6為六個圓。 : B=N，即為N個B圓，C、D的圓個數，相依於B； : 若A的圓徑為X，在3<=B(個數，非圓徑)<=N範圍時，求B、C、D、E的圓徑比。 : 例如：A:B:C:D:E|B=3(B的圓個數為3) = 1: 2: 2/3: 3/4: 4/5 : (胡謅的，別真的拿來用呀...) : 問題： : 圖中包含A,B,C,D,E五種圓，設圖中B圓的個數為3～N。 : 且由圖上可以知道圓的個數，當B為3個圓時， : 可知C亦等於3個圓，D為6個圓， : 即圓個數比為，B:C:D=3:3:6， : B為4個圓時，則B:C:D=4:4:8， : B為5、6、7、8...N時，即B=3～N， : 求出A,B,C,D,E五種圓的圓徑比例(直徑或半徑)及圓周比例。 : 上面圖的連結分別是B為3和4的時候，其中圓與圓之間皆為相切。 : 這問題不知放這妥不妥，若是不好還請大家包涵。 : 感謝各位！設 A 的半徑為 1 求B: 若 B=n 則將所有B圓的圓心連起來就一定會成為正n邊形其中每邊邊長為 2 x r_b (B的直徑) 而圓心到正n邊形頂點的距離為 1 - r_b (1 - B的半徑) 由以上關係可以快速導出B的半徑為 sin(pi/n) / (1 + sin[pi/n]) 求 E: 2 x r_b + r_e = 1 r_e = (1 - sin[pi/n]) / (1 + sin[pi/n]) 求 C: 也一樣注意到若 B=n 則 C 也是剛剛好為n個因此若連接 A圓心(a), B圓心(b), 以及 C圓心(b) 會形成一個三角形 abc 其中線段ab = 1 - r_b, 線段ac = 1 - r_c, 線段bc = r_b + r_c 而且 ab 和 ac 的夾角剛剛好是 pi/n 利用餘弦定理: (bc)^2 = (ab)^2 + (ac)^2 - 2(ab)(ac)cos(pi/n) 再加上將 r_b 帶回可以求出 r_c = (1 - cos[pi/n]) / (1 + 2sin[pi/n] - cos[pi/n]) (希望沒算錯XD) 求 D: 求 D 應該是最困難的一部分了... 連接 A圓心(a), B圓心(b), 以及 D圓心(d) 得到三角形 abd 再在隔壁連接 A圓心(a), C圓心(c), 以及 D圓心(d) 得到三角形 acd 注意到這兩個三角形的邊長都是已知: ab = 1 - r_b, ad = 1 - r_d, bd = r_b + r_d, ac = 1 - r_c, cd = r_c + r_d 因此可以算出角bad 以及角cad 的餘弦值 (一大串帶 r_d 未知數) 最後利用角bad + 角cad = 角bac = pi/n 的性質可以利用和角公式把 r_d 解出來 D 超難算................. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 118.160.168.201