[閒聊] 凱利公式(1)已刪文
故事還是從一枚硬幣開始說起(系列文可以的話別M
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正面機率pb=0.60 賠率ods=2 背面賠率=0
明顯 正面下注支付率pr(每單位資金下的期望值)=1.20>1 應該下注
{假定初始有限資金A0=A(t=0)元 每次下注r*A(t)
求解r0使得下注無限多次後A(t=inf)為最大(亦即平均單局資金成長率G為最大)}
r0 = argmax G(r)
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單局投入r*A(t)後資金變化:
A(t)*{1-r+r*ods} = A(t)*{1+r*(ods-1)} 或者 A(t)*{1-r}
其中{1+r*(ods-1)}以及{1-r}投資上被稱為HPR(holding period return)
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多局N次投入後 假設正背面各出現N1及N2次
資金A = A0*Π(HPRi)
= A0*{HPR1^N1}*{HPR2^N2} ...A僅與輸贏次數有關與輸贏順序無關
其中HPR1={1+r*(ods-1)}, HPR2={1-r}
>> (A/A0) = {HPR1^N1}*{HPR2^N2}
>> (A/A0)^1/N = {HPR1^(N1/N)}*{HPR2^(N2/N)}
>> G = {HPR1^pb}*{HPR2^(1-pb)} ...大數定律
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...(過程從略
r0 = argmax(G) = (pb*ods-1)/(ods-1)
= (pr-1)/(ods-1) ... Kelly's
= (1.20-1)/(2-1) = 0.20
https://imgur.com/a/lcdCjLE
*若r<0或r>1則屬於槓桿範疇
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根據曲線特性:
機率錯估情況下資金衰減過快 vs 保守砍半下注獲利率
寧願少賺也不願大虧r = r0/2 ...半凱利
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※ 編輯: Rasin (1.168.113.96 臺灣), 09/01/2020 12:38:51
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