[心得] 撲克與排列組合

看板Mathematica作者jurian0101 (Hysterisis)時間10年前 (2014/04/10 18:05)推噓1(1推 0噓 0→)

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撲克牌13支（外國多稱為Chinese Poker）當中，顧名思義手牌有13張分為3,5,5張的三墩。牌品為：高牌、一對、兩對、三條、順子、同花、葫蘆、鐵支、同花順其中有些特殊牌型如六對子 (ex. AA 22 33 44 55 55 K)、三同花（同花）、三順子前兩個並不需要用到Mathematica，就能算出來共有幾種組合，機率多少只要用 Wolfram Alpha 線上計算就可以了例如六對半考慮有 k 個鐵支的狀況，總組合有 Σ C(13,k)*C(13-k,6-2k)*C(4,2)^(6-2k)*(52-12), {k,0,3} = 3 542 247 280 (ps當然，會把三鐵支當六對半的人是瘋子，但排列組合，數學上來講這樣更簡單) 還有三同花 C(4,3)*3*C(13,5)^2*C(13,3) + C(4,2)*2*C(13,8)*C(13,5) + C(4,2)*2*C(13,10)*C(13,3) + 4 = 5 705 516 392 (ps各項依序為[三種花色] + [兩種花色為5張8張] + [兩種花色為3張10張] + [理論上也能算三同花的一條清龍] ) 三順子就比較難算了，可能性較多，就要藉程式輔助 Total[Times @@@ ((Tally /@ (Tuples[{Range[11], Range[10], Range[10]}] /. {x1_, x2_, x3_} :> (Flatten[{Range[x1, x1 + 2], Range[x2, x2 + 4], Range[x3, x3 + 4]}]/. 14->1 ))) /. {_, n_} :> Binomial[4, n])] 一行碼，基本精神：反正每個數字有四張，三個順子重疊沒關係首個順子可以從 (123) 到 (JQK)，11取1。後兩個可以從(12345) 到 (TJQKA)，10取1。所以用Tuple取出像 {1, 10, 3} 這種數列把它轉換成順子所需的牌 {{1,2,3}, {10,11,12,13,1}, {3,4,5,6,7}} 然後每種數字選擇花色，有k張的方法是 C(4,k) 全部相乘，加總。得到 4 662 122 240 種目前小結：六對半 3542247280 種，機率0.56% 三同花 5705516392 種，機率0.90% 三順子 4662122240 種，機率0.73% 與超好的牌相反，有些牌型你拿到會怨嘆今天到底該說今天運氣太好還是運氣太差例如「超爛兩對子」，恰兩對，卻沒有順子，也沒有同花這可能嗎？只要恰好斷在 5 與 10，其餘中兩個是對子、其餘各一張即可如 A22 33467 89JQK。 (斷在5與10是只有兩對的唯一一種可能，簡單可驗證。) 已經完成兩個條件了，「沒有同花」怎麼排？這裡介紹 IntegerPartitions 函數 IntegerPartitions[13, {4}, {0,1,2,3,4}] │ │ 可以使用的數，小於5，要是5張就同花了 │ 分成幾個數被分的數 = {{4, 4, 4, 1}, {4, 4, 3, 2}, {4, 3, 3, 3}} 結果證明把0加進去是多餘的這就是可能的花色張數（分別有4,12,4種排列），這其實用手就算得出來XD 然後，要把 A22 33467 89JQK 分進去......嗎？別傻了不用真的分以 {4,4,3,2} 為例，我們有兩個對子 22 33，同數字花色必須不同於是必須做從{4,4,3,2} 挑兩個數減1，共做兩次這個動作令gp={{1,1,0,0},{1,0,1,0},{1,0,0,1},{0,1,1,0},{0,1,0,1},{0,0,1,1}} 第一次減 Flatten[ Outer[Subtract, {{4,4,3,2}}, gp, 1 ],1] 這裡有鋪梗這個1有學問，他是指定深度1，也就是將 {1,1,0,0}這樣的括號(向量) 當一個物件非要不可，否則會被MMA解讀成神奇的高維度張量運算。第二次減 Flatten[ Outer[Subtract, % , gp, 1 ],1] 沒錯梗在於公式完全一樣，不用再打一次^^ 會跑出 {{2,2,3,2},{2,3,2,2},{2,3,3,1},{3,2,2,2},{3,2,3,1},{3,3,2,1},{2,3,2,2}, {2,4,1,2},{2,4,2,1},{3,3,1,2},{3,3,2,1},{3,4,1,1},{2,3,3,1},{2,4,2,1}, {2,4,3,0},{3,3,2,1},{3,3,3,0},{3,4,2,0},{3,2,2,2},{3,3,1,2},{3,3,2,1}, {4,2,1,2},{4,2,2,1},{4,3,1,1},{3,2,3,1},{3,3,2,1},{3,3,3,0},{4,2,2,1}, {4,2,3,0},{4,3,2,0},{3,3,2,1},{3,4,1,1},{3,4,2,0},{4,3,1,1},{4,3,2,0}, {4,4,1,0}} 這個時候表示，第一種情形，我們要把剩下的九張相異牌 (即 A 4 6789 JQK) 分派花色是 2桃 2心 3磚 2梅，分法有 9!/ (2!2!3!2!) 種這時介紹另一個好用函數 Multinomial，他就是上述的計算因此總和為 Total[Multinomial@@@{{2,2,3,2},{2,3,2,2}, ... ,{4,4,1,0}}] =142590 我們討論的花色數組是 {4,4,3,2}，因此須乘以 12 但是有陷阱，當選花色數是 {4,4,4,1} 時，必須改成 Flatten[ Outer[Subtract, {{4,4,4,1}}, gp, 1 ],1] /. {___, _?(#<0&), ___}->Sequence[] 這是因為減第二次時，選到不能減(該套花色張數用完)，則出現負數不過恰好只要把這些數組移除，剩下就是可行的數組。這個算法的方便是其實只要這樣就能得到完整的答案 suit=Flatten[ Permutations/@{{4,4,4,1}, {4,4,3,2}, {4,3,3,3}}, 1]; Flatten[ Outer[Subtract, suit, gp, 1 ],1]/. {___, _?(#<0&), ___}->Sequence[] Flatten[ Outer[Subtract, %, gp, 1 ],1]/. {___, _?(#<0&), ___}->Sequence[] Total[Multinomial@@@%]*Binomial[11,2] (*11號碼選2成對*) 答案是 152 044 200 種，機率0.024%，或約四千分之一。比六對半還少見，應該成立一個牌品的XD 有趣的是，多出來的兩張如果是同一數字，會變成罕見5倍，微妙的強一點點的牌「除了一個三條，什麼都沒有」 XDDD 例如 A22234 6789 JQK = = = = 終章練習: 這種 "牌品" 有幾種組合「恰好三對，順子同花什麼的完全沒有↖」 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.213.88 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Mathematica/M.1397124358.A.83B.html 附一個簡短的判斷牌組有沒有順子的函數 x={1,1,2,3,4,5,5,7,8,9,10,10} y=Sort@DeleteDuplicates@x (*{1,2,3,4,5,7,8,9,10}*) isStr[y_]:= Or[ And @@ (MemberQ[x, #] & /@ {1, 10, 11, 12, 13}), (*AK順當例外*) MatchQ[Differences[x], {___, Repeated[1, {4}], ___}]] (*←這怎麼??*)