[心得] 直式開方法

看板Mathematica作者jurian0101 (Hysterisis)時間11年前 (2013/07/04 22:44)推噓1(1推 0噓 0→)

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Knuth說，自己已經學會某事情的一種證明是：教會你的電腦。今天學會了脫胎自 (10a+b)^3 = 1000a^3 + 300 a^2 b + 30a b^2 + b^3 公式和直式開平方法的直式開立方法 source= http://chowkafat.net/Abacus8.html 其實這個方法很爛，因為相較於開平方時左手邊欄是每次增加一位數，而開立方時，不僅步驟多，而且估計下一位更難，更糟糕的是左手邊的位數以每次兩位增加。所以用手算除了要很大一張紙和大量的細心，甚至效率不比簡單的牛頓法好。總之為了紀念學過，就有點多此一舉的把這又點複雜的算法編成MMA代碼吧 (做為練習XD 直式開方[x_Integer, precision_Integer] := Module[{rL, r, a, b, col, ans, idx = precision, point}, rL = IntegerDigits[x, 1000]; (*每3位一組*) ans = (a = Floor[rL[[1]]^(1/3)]); rL[[1]] = rL[[1]] - a^3; col = {300 a^2, 30 a, 1}; idx -= 1; (*算幾次後停止*) point = 1; (*記錄小數點以上有幾位*) (*若精準度足夠則跳出,ans=a *) While[idx > 0, r = rL[[1]]*1000 + rL[[2]]; b = Floor[r/col[[1]]]; While[r < col.{b, b^2, b^3}, b -= 1]; (*決定b*) If[Length@rL > 2, rL = {r - col.{b, b^2, b^3}}~Join~rL[[3 ;;]]; (*清單向右縮短*) point += 1, (*是小數點以上*) rL = {r - col.{b, b^2, b^3}, 0} (*小數點以下的補0*) ]; idx -= 1; ans = 10*ans + b; col = {300 ans^2, 30 ans, 1}(*更新col*) ]; (*輸出*)N[ans/10^(precision - point - 1), precision] ] 測試: 352^3=43614208, 直式開方[43614208, 3]= 352. 直式開方[43614207, 20] = 351.99999730974515850 N[43614207^(1/3), 20] = 351.99999730974515850 = = = ps. 後記會去研究怎麼算其實是被明代朱載堉(1530-1610)這個奇才刺激到了這位超牛的王子是「十二平均律」的最早發明+實現者，正是這個原因他用算盤將2開了12次方，求到小數點以下25位精確值! 當時歐洲的數學家還算得2266誤差百出呢。可想見要不就是直接解x^12-2=0的牛頓法 (牛頓還沒出生咧)，或是開兩次平方再一次立方。除此之外我列不出其他方法能算到25位XD 接近接近2^(1/12)的分數中分母最小的是 FromContinuedFraction@ContinuedFraction[2^(1/12), 28]= 7147579272248/6746416472931 N[7147579272248/6746416472931,25]=1.059463094359295264561825 而這個結果朱載堉在四百年前就算出來了 http://zh.wikipedia.org/wiki/File:%E4%B9%90%E5%BE%8B%E5%85%A8%E4%B9%A6%E5%85%A8-123.jpg

= = = pps. 列入金氏世界紀錄的一項心算挑戰是 13th root of 100/200-digit number 這位超能逆天的法國人Alexis Lemaire成功在70秒內算出 200位數 9147439234287241692920723809496000857331422592710260318167504650965532\ 9359229555248436073522547285876508820526837505708703326135976287791083\ 873682599348132022020213082392767546685090283520000000000000 的十三次方根 = 2407899883032220^13 source= http://tech.sina.com.cn/d/2007-12-12/10121907975.shtml 嗯，大家應該有注意到他運氣很好，挑戰當時電腦正好選到0結尾的數，瞬間少算一位。 13次方後剛好兩百位數的數有 Floor[10^(200/13)] - Floor[10^(199/13)] = 393 544 396 177 593 個＠＠剛好選到0結尾則只有十分之一的可能，還是很多很逆天＠A＠ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 61.227.230.99