[心得] EIORU tree

看板Mathematica作者jurian0101 (Hysterisis)時間12年前 (2012/07/18 18:34)推噓0(0推 0噓 2→)

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這篇文章靈感是EIORU大在帕索板提出的問題，每次EIORU提出的問題都蠻適合練習 Mathematica或其他程式之解題技巧 @@ 作者: EIORU () 看板: puzzle 標題: [問題] 樹幹樹枝果實有一棵樹種進土裡後長出了樹幹 │ ╲╱ <- 左/右樹枝往前/後的樹枝->∣ ╲╱ 第一天早上長出了樹枝 │ <- 樹幹 ∣ ∣ <-樹幹 ∣ ∣ ╲╱ ╲╱ 第一天晚上樹枝上長出了樹幹 │ ∣ 原本的樹枝變成了樹幹第二天在左邊的樹幹往前/後長出了樹枝 , 在右邊的樹幹往左/右長出了樹枝第二天晚上樹枝上長出了樹幹原本的樹枝變成了樹幹第三天在前方的樹幹往前/後長出了樹枝 , 在後方的樹幹往左/右長出了樹枝在左邊的樹幹往前/後長出了樹枝 , 在右邊的樹幹往左/右長出了樹枝第三天晚上樹枝上長出了樹幹原本的樹枝變成了樹幹第四天之後會重複有顏色的行為如果早上兩枝樹枝碰到了一起在晚上就會結出了果實而不會長出樹幹 PS. 在頂端的樹幹才有生長能力樹枝長度 = √2 , 樹幹長度 = 1 樹枝生長永遠和地面呈45度樹幹生長永遠和地面呈90度 Q1. 第10天早上會長出幾枝樹枝? Q2. 從第一天開始到第幾天晚上能採收到第100顆果實? 題外話 ... OEIS 沒有樹枝數量的數列 XD ... 畫到一半感覺像某立體結構的聚合物 = = = = 分析 by jurian0101= = = = O代表原枝幹 WASD代表前左後右 (XD) 上一天的以小寫wasd表示。 Q代表果子，一個位置結了果實就不會再往上長，第二天就忽視他。以下是轉變法則，用字代表就不會忘了是什麼朝向的枝幹，也可以方便繪圖(設定坐標) W W w AsD a AdD S S 假設要算枝幹總長度的話(原題沒有但可以算) 就是一層層加上去，正是每一層中 __ __ W=A=S=D = 1+V 2 ,Q = 2V 2 ,初始枝幹O=1 這樣 = = = = 手動實作 = = = = 第一天 (第0層) O 長度1 第二天 W __ o 長度 2* (1+V 2 ) S 第三天 W w 以下省略長度，一樣意思就好 S AsD 第四天果子 +=1 W w S QsD aAdD S 第五天果子 +=2 W w S AsD QsD aAdD AsQ 第六天果子 += 2 W w S QsD aAdD S QdD W aAdD a S S ........依此類推，是個二維cellular automata QQ = = = = 最後是解答與Mathematica碼 = = = = 先形容一下畫出來這顆神奇的樹， "分層畫"的輸出可以看到，每層中同一側形成無間隙的枝幹網格。果子也是交替排列。這個構造姑且叫做基底膜好了@@ 相對方向形成兩種排列形式 1.cluster: 形狀不一的離散團塊，似乎彼此長像是一樣的或 2. escalator，一路連回基底膜的長短不一的纖維狀構造然後就是整體了，窩的天啊它長的超像 Sierpinski triangle (轉到側面) 相異點是這個...就叫他 EIORU XD triangle 好了...是由多於而非原本1:2的挖空比例構成的／＼／＿＿＼ <-- 很差的示意圖／＼／＼／＼以下一是傷眼Mathematica函數，速度效率很差，但計較這點可能要重寫過就...算了 Clear[枝幹];枝幹[直][0]={{0,0}->"W"}; 枝幹[直][n_]/;n>0:= 枝幹[直][n]= (枝幹[斜][n]=Sort[枝幹[直][n-1]/.rule1])//. {p___,q_Rule,r___,s_Rule,t___}/;q[[1]]==s[[1]]:>{p,q[[1]]->"Q",t} (*迭代規則。到下一層Q=果子須移除，是故有Q一行*) rule1={ (*W*)({x_,y_}->"W"):>Sequence[{x,y+1}->"W",{x,y-1}->"S"], (*A*)({x_,y_}->"A"):>Sequence[{x,y+1}->"W",{x,y-1}->"S"], (*S*)({x_,y_}->"S"):>Sequence[{x-1,y}->"A",{x+1,y}->"D"], (*D*)({x_,y_}->"D"):>Sequence[{x-1,y}->"A",{x+1,y}->"D"], (*Q*)({_,_}->"Q")->Sequence[] }; (*把第i層枝幹data轉換成繪圖物件。枝幹[直][i]裡包含Q=果子，是往上畫。枝幹[斜 ][i]不包含Q，是往下畫*) Clear[轉換]; 轉換[i_]:=Join[{Hue[Mod[i,10]/10]}, 枝幹[斜][i]/.x:{_Integer,_}:>Append[x,2i-1]/.rule2, 枝幹[直][i]/.x:{_Integer,_}:>Append[x,2i-1]/.rule3 ] (*斜枝幹變斜線*) rule2={ (*W*)({x_,y_,z_}->"W"):>Line[{{x,y,z},{x,y-1,z-1}}], (*A*)({x_,y_,z_}->"A"):>Line[{{x,y,z},{x+1,y,z-1}}], (*S*)({x_,y_,z_}->"S"):>Line[{{x,y,z},{x,y+1,z-1}}], (*D*)({x_,y_,z_}->"D"):>Line[{{x,y,z},{x-1,y,z-1}}] }; (*直枝幹或果子*) rule3={ (*Q*)({x_,y_,z_}->"Q"):>{color=Black,PointSize[0.03],Point[{x,y,z}]}, (*else*) ({x_,y_,z_}->Except["Q"]):>Line[{{x,y,z},{x,y,z+1}}] }; = = = = = = = (*起始!,50層在我電腦跑很慢，約5分鐘*)(*不知道這麼慢的原因是...*) 枝幹[直][50]; = = = = = = = (*輸出測試*) 枝幹[斜][5] 枝幹[直][10] = = = = = = = (*單層graphics測試*) Graphics3D[轉換[10]] = = = = = = = (*多層graphics，視角是正上方，以看清分布*) Table[Graphics3D[轉換[i], ViewPoint -> Top, BoxStyle -> Dashed], {i, 1, 50(*層數*)}] = = = = = = = (*重頭戲!! 大融合繪圖。果子大小為手動調整，0是看不見*) Graphics3D[ Flatten@Table[轉換[i], {i, 1, 50(*層數*)}] /. PointSize[_] -> PointSize[0(*大小*)], ViewPoint -> Top, BoxStyle -> Dashed] = = = = = = = = = (*第i層的果實計數*) c=Table[Count[枝幹[直][i],"Q",Infinity],{i,1,50}] (*到第n天總共果實計數*) Accumulate[c] (*斜枝幹計數*) Table[Length@枝幹[斜][i],{i,1,50}] (*直枝幹計數，含果子，自行扣除*) Table[Length@枝幹[直][i],{i,1,50}] = = =全文完的分隔線= = = ※ 編輯: jurian0101 來自: 140.112.213.88 (07/18 18:40)